MTF 50 & MTF 30 的計算方式. 如果知道 一張 1080p 的照片 黑白 由 10% ~90% 需要1.5 個pixel. 這樣 MTF50 & MTF30 推算是多少?

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• MTF 50 與 MTF 30 的計算方式

  MTF（Modulation Transfer Function，調制傳遞函數）是衡量光學系統（如鏡頭或顯示器）傳遞對比度能力的指標。MTF 50 和 MTF 30 分別指 MTF 值下降到 50% 和 30% 時的空間頻率（單位通常為週期每像素（cycles/pixel）或線對每毫米（lp/mm））。

  • MTF 計算基礎：

    • MTF 可從邊緣響應函數（Edge Spread Function, ESF）推導。給定從 10% 到 90% 強度變化的邊緣上升距離（d），可假設系統具有高斯響應（常見近似），以推導 MTF。
    • 對於高斯系統，邊緣響應的 10-90% 上升距離（d）與點擴散函數（PSF）的標準差（σ）關係為：
      $$\sigma \approx \frac{d}{2.5631}$$
      其中，2.5631 是標準高斯分佈下，從累積分佈函數 10% 到 90% 的寬度（基於標準差單位，invNorm(0.9) ≈ 1.28155，寬度 = 2 × 1.28155 = 2.5631）。
    • MTF 作為空間頻率（f）的函數為：
      $$\text{MTF}(f)=\exp (-2(\pi \sigma f{)}^2)$$
    • 解 MTF(f) = 0.5 和 MTF(f) = 0.3，可得 MTF 50 和 MTF 30 的頻率（f_{50} 和 f_{30}）。

  • 推導公式：

    • MTF 50（f_{50}）：
      $$\exp (-2(\pi \sigma f_{50}{)}^2)=0.5$$
      解得：
      $$f_{50}\approx \frac{0.4803}{d}\text{cycles per pixel}$$
    • MTF 30（f_{30}）：
      $$\exp (-2(\pi \sigma f_{30}{)}^2)=0.3$$
      解得：
      $$f_{30}\approx \frac{0.6331}{d}\text{cycles per pixel}$$

  Example: 給定條件下的推算

  • 輸入參數：

    • 一張 1080p 照片（解析度通常為 1920 × 1080 像素），但物理尺寸未指定，因此計算以像素為單位。
    • 黑白（強度）由 10% 到 90% 的過渡需要 1.5 像素（d = 1.5 像素）。

  • MTF 50 推算：

    $$f_{50}\approx \frac{0.4803}{d}=\frac{0.4803}{1.5}\approx 0.3202\text{ cycles per pixel}$$

    約為 0.32 cycles per pixel。

  • MTF 30 推算：

    $$f_{30}\approx \frac{0.6331}{d}=\frac{0.6331}{1.5}\approx 0.4221\text{ cycles per pixel}$$

    約為 0.42 cycles per pixel。

  結果與說明

  • MTF 50：約 0.32 cycles per pixel
  • MTF 30：約 0.42 cycles per pixel
  • 單位：由於輸入距離以像素為單位，且照片物理尺寸未指定，結果以 cycles per pixel（每像素週期數）表示。若需轉換為線對每毫米（lp/mm），需知道像素間距（例如，若像素間距為 p mm，則 MTF 50 = 0.32 / p lp/mm）。
  • 合理性驗證：
    • Nyquist 頻率（最高可解析頻率）為 0.5 cycles per pixel（因每個週期需至少 2 像素）。
    • f_{50} = 0.32 < 0.5 和 f_{30} = 0.42 < 0.5，均在 Nyquist 頻率以下，符合系統略顯模糊的特性（因上升距離 1.5 像素表示邊緣不銳利）。

  此推算基於高斯系統假設，適用於一般光學分析。若系統響應非高斯，結果可能略有差異。